.. module:: integrals

Aproximar una integral definida
===============================

Donada una funció :math:`f` definida en un interval :math:`[a, b]` tal
que pren valors positius, podem aproximar la integral definida de
:math:`f` en aquest interval com una suma d'àrees de rectangles. Per
això, considerem un paràmetre :math:`n` que serà el nombre de trossos
en què dividirem l'interval  :math:`[a, b]`:

.. math::

   \int_{a}^{b} f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})\frac{b-a}{n}

on :math:`x_i=a+i\frac{b-a}{n}` per :math:`i=0, \ldots, n`.

En aquest exercici, considerem  :math:`f(x)=2x^2 + \sin x + 4`

Dissenya les dues funcions següents i desa-les al mòdul :mod:`integrals` (fitxer :file:`integrals.py`):

.. function:: integra(a, b, n)

   Retorna l'aproximació de la integral definida entre :math:`a` i
   :math:`b` dividint en :math:`n` trossos l'interval, seguint la fórmula
   anterior.

   Observa el següent joc de proves:

   .. literalinclude:: test-integra.txt
      :language: python3
      :lines: 3-
	      
   Pots descarregar el fitxer amb tests :download:`test-integra.txt`.

|

.. function:: quants_trossos(a, b, eps)

   Retorna el valor més petit d\'`n` tal que l'aproximació s'acosta a
   la integral de :math:`f` a l'interval :math:`[a, b]` amb un error
   menor que `eps`, és a dir,

   .. math::

      \left| \int_{a}^{b} f(x)dx - \sum_{i=0}^{n-1} f(\frac{x_i+x_{i+1}}{2})\frac{b-a}{n} \right| < \text{eps.}


   .. note::

      Recorda que un dels mètodes per calcular la integral definida és
      a partir del càlcul de primitives: :math:`\int_{a}^{b} f(x)dx =
      F(b) - F(a)`. En aquest problema, :math:`F(x) = 2\frac{x^3}{3} -
      \cos x + 4x` és una primitiva de la funció :math:`f(x)`.

   Observa el següent joc de proves:

   .. literalinclude:: test-quants_trossos.txt
      :language: python3
      :lines: 3-

   Pots descarregar el fitxer amb tests :download:`test-quants_trossos.txt`.