.. module:: series_invtrigoh

Sèrie arctangent hiperbòlica (2 punts)
--------------------------------------

Definim recursivament la successió següent:

.. math::

   t_0(x) & = x \\
   t_n(x) & = t_{n-1}(x) \; x^2 \; \frac{2n-1}{2n+1}, \qquad n>0

Sabem que la sèrie dels termes de la successió anterior convergeix a
l'arctangent hiperbòlica:

.. math::

   \sum_{n=0}^\infty t_n(x) = \operatorname{arctanh} x, \qquad |x|<1

Dissenya la funció següent i desa-la al mòdul :mod:`series_invtrigoh`
(fitxer :file:`series_invtrigoh.py`).

.. function:: termes(x, epsilon)

   Retorna la llista amb el mínim nombre de termes de la sèrie que
   compleixen que la sèrie s'acosta a :math:`\operatorname{arctanh} x`
   amb una tolerància `epsilon`, és a dir, els termes de
   :math:`t_0(x)` fins al :math:`t_k(x)` on :math:`k` és el nombre més
   petit que compleix

   .. math::

      \left\lvert \sum_{n=0}^k t_n(x) - \operatorname{arctanh} x \right\rvert < \epsilon

   Per exemple,

   .. literalinclude:: test-series_invtrigoh.txt
      :language: pycon
      :start-after: ---- inici
      :end-before: ---- fi

   Recorda que :func:`math.atanh` calcula l'arctangent hiperbòlica.
   
   Trobaràs més tests al fitxer
   :download:`test-series_invtrigoh.txt`.