.. module:: biseccio

Mètode de la bisecció
---------------------

El `mètode de la bisecció
<https://ca.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8tode_de_la_bisecci%C3%B3>`__ és
un algorisme de cerca d'arrels d'una funció contínua en un
interval. L'algorisme defineixen tres successions :math:`a_n \le r_n
\le b_n` que convergeixen a la mateixa arrel, per :math:`n > 0`:

.. math::

   r_n = \frac{a_n+b_n}{2},
   \quad a_{n+1} = \begin{cases}
   a_n & \mbox{si } f(a_n)\cdot f(r_n) <0 \\
   r_n & \mbox{si } f(a_n)\cdot f(r_n) > 0\end{cases},
   \quad b_{n+1} = \begin{cases}
   b_n & \mbox{si } f(b_n)\cdot f(r_n) < 0 \\
   r_n & \mbox{si } f(b_n)\cdot f(r_n) > 0\end{cases}

Els valors inicials són:

.. math::

   a_0 := a,\quad b_0:=b

Dissenya la funció següent i desa-la al mòdul :mod:`biseccio` (fitxer
:file:`biseccio.py`).

.. function:: succ_biseccio(f, a, b, eps)

   Calcula la successió :math:`(a_i, b_i)` per :math:`0 \le i \le n`
   fins al primer :math:`n` que compleixi :math:`|a_n - b_n| <
   \text{eps}`.

   :param function f: funció de la qual volem trobar un zero a l'interval
                  :math:`[a, b]`
   :rtype: list(tuple)
   :return: llista de les tuples :math:`(a_i, b_i)`

   Per exemple:

   .. literalinclude:: test-succ_biseccio.txt
      :language: pycon
      :start-after: ---- inici
      :end-before: ---- fi
   
   Disposes de més tests al fitxer :download:`test-succ_biseccio.txt`.

   .. note:: El paràmetre :code:`f` és una funció i es crida en el cos
             de la funció :func:`succ_biseccio` amb la sintaxi
             habitual: :code:`f(a)` per exemple.