Sèries de Maclaurin
===================

En aquest exercici treballarem amb el desenvolupament en sèrie de
Maclaurin per les funcions :math:`\frac{1}{1-x}` i `arctan(x)`:

   :math:`\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{k} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots`

   :math:`arctan(x) = \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \cdots`


#. Donats dos valors reals, ``x``, tal que :math:`-1 < x < 1` i
   ``epsilon``, la tolerància :math:`epsilon << 1`, dissenya la
   funció, ``serie1`` que calcula la suma dels termes del
   desenvolupament en sèrie de Maclaurin per la funció
   :math:`\frac{1}{1-x}`, sumant tots els termes que en valor absolut
   són més grans o iguals que ``epsilon``.

   Dissenya també la funció, ``serie2`` que fa el mateix per la funció
   :math:`arctan(x)`.

   Desa totes dues funcions al fitxer ``maclaurin1.py``

   Les funcions han de passar el següent doctest:
   
   .. literalinclude:: test-maclaurin1.txt
      :language: python3
      :lines: 3-
             
   .. note::

      Podeu descarregar el fitxer amb tests :download:`test-maclaurin1.txt <test-maclaurin1.txt>`
   
#. Donats dos valors real, ``x``, tal que :math:`-1 < x < 1` i
   ``epsilon``, la tolerància :math:`epsilon << 1`, dissenya la
   funció, ``serie1`` que calcula la suma dels termes del
   desenvolupament en sèrie de Maclaurin per la funció
   :math:`\frac{1}{1-x}`. En aquest cas, cal aturar el càlcul de la suma
   quan dos termes consecutius siguin iguals amb la tolerància
   ``epsilon`` donada, és a dir, quan la seva diferència en valor
   absolut sigui inferior a ``epsilon``.

   Dissenya també la funció, ``serie2`` que fa el mateix per la funció
   :math:`arctan(x)`.

   Desa totes dues funcions al fitxer ``maclaurin2.py``
         
   Les funcions han de passar el següent doctest:
   
   .. literalinclude:: test-maclaurin2.txt
      :language: python3
      :lines: 3-
             
   .. note::

      Podeu descarregar el fitxer amb tests :download:`test-maclaurin2.txt <test-maclaurin2.txt>`

.. rubric:: Solució
      
Disposeu de solucions als fitxers
:download:`maclaurin1.py<solucions/maclaurin1.py>` i
:download:`maclaurin2.py<solucions/maclaurin2.py>`