Desenvolupament en sèrie

Nota

Per a resoldre els següents problemes pots utilitzar la funció math.factorial()

Desa totes les funcions que es demanen al fitxer series_de_taylor.py.

1. El desenvolupament com a sèrie de Taylor de la funció exponencial centrada al zero és

   \[e^x = 1 + x +\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\]

   Dissenya la funció serie_exp() que, donats dos reals x i eps, retorni el valor de \(e^x\) calculat com la suma dels termes del desenvolupament en sèrie superiors a eps en valor absolut.

   >>> round(serie_exp(1, 0.001), 5)
   2.71806
   >>> round(serie_exp(2, 0.0001), 7)
   7.3889947
   

   Pots descarregar el fitxer amb tests test-series_de_taylor1.txt

2. El desenvolupament com a sèrie de Taylor centrada al zero de la funció cosinus d’un angle expressat en radians és:

   \[cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots\]

   Dissenya la funció serie_cos() que, donat un angle x en radians i un real eps, retorni el valor del cosinus de x calculat com la suma dels termes del desenvolupament en sèrie superiors a eps en valor absolut.

   >>> round(serie_cos(1.0472, 0.00001), 5)
   0.5
   >>> round(serie_cos(3.141592,0.00001), 7)
   -1.0000042
   

   Pots descarregar el fitxer amb tests test-series_de_taylor2.txt

3. El desenvolupament com a sèrie de Taylor centrada al zero de la funció sinus d’un angle expressat en radians és:

   \[sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \cdots\]

   Dissenya la funció serie_sin() que, donat un angle x en radians i un real eps, retorni el valor del sinus de x calculat com la suma dels termes del desenvolupament en sèrie superiors a eps en valor absolut.

   >>> round(serie_sin(1.5708, 0.0001), 5)
   1.0
   >>> round(serie_sin(0.5236,0.0001), 7)
   0.5000032
   

   Pots descarregar el fitxer amb tests test-series_de_taylor3.txt

4. Modifica una de les tres funcions anteriors fent que la condició d’acabament sigui que la diferència en valor absolut de dos termes consecutius del desenvolupament en sèrie de Taylor sigui inferior a eps.

Solució

Disposeu de solucions als fitxers series_de_taylor.py