3. Zones d’ajust (2,5 punts)

Es vol estudiar en quins punts enters una funció f queda prou ben ajustada al valor d’entrada. Per fer-ho, donada una funció f i una tolerància tol, definim la puntuació d’un punt x com:

\[\max\left(0,\ tol - \left|f(x)-x\right|\right)\]

1. Donat un centre c, definim la zona al voltant del centre c com el conjunt d’enters que estan a l’interval \([c-5,c+5]\). Per exemple, la zona al voltant del centre 4 estaria formada pels enters -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

   Dissenya la funció següent desa-la al fitxer zones.py.

   analitza_zona(f, c, tol)

   Analitza la zona al voltant del centre c per trobar quants valors tenen puntuació estrictament positiva i quina és la puntuació més alta.

   Paràmetres:

   • f (function) – funció que rep un enter i retorna un valor numèric

   • c (int) – centre de la zona que es vol analitzar

   • tol (float) – tolerància utilitzada per calcular la puntuació

   Tipus de retorn:

   tuple

   Retorna:

   una tupla formada per dos elements:

   • el nombre de punts dins la zona al voltant de c amb puntuació estrictament positiva i calculada amb tolerància tol y per la funció f.

   • la puntuació més alta entre tots els punts de la zona analitzada arrodonida a dos decimals.

   Els següents doctests mostren exemples del que ha de fer la funció:

   >>> def f(x):
   ...    return 2*x/3
   
   >>> analitza_zona(f, 2, 0.8)
   (5, 0.8)
   >>> analitza_zona(f, -6, 0.8)
   (2, 0.47)
   

   Disposes de més tests al fitxer test-analitza-zona.txt

2. Dissenya la funció següent desa-la al fitxer zones.py.

   busca_zona(f, c, tol, min_accept)

   Busca la primera zona que tingui com a mínim min_accept punts amb puntuació estrictament positiva.

   La cerca analitza zones centrades al voltant dels centres \(c, c + 1, c + 2 \dots\) fins que troba una amb com a mínim min_accept punts que compleixin la condició anterior.

   Paràmetres:

   • f (function) – funció que rep un enter i retorna un valor numèric

   • c (int) – centre de la primera zona que es vol analitzar

   • tol (float) – tolerància utilitzada per calcular la puntuació

   • min_accept (int) – nombre mínim de punts amb puntuació estrictament positiva que ha de tenir la zona

   Tipus de retorn:

   tuple

   Retorna:

   una tupla de dos elements formada per:

   • el centre de la primera zona trobada amb un mínim de min_accept punts amb puntuació estrictament positiva

   • la millor puntuació entre els punts d’aquesta zona

   Es pot suposar que sempre existeix una zona amb almenys min_accept punts acceptables.

   Aquesta funció ha de cridar la funció analitza_zona().

   Els següents doctests mostren exemples del que ha de fer la funció:

   >>> def f(x):
   ...     return 2 * x / 3
   
   # centre -6, tolerància 0.8, mínim 5 punts puntuació > 0
   
   >>> busca_zona(f, -6, 0.8, 5)
   (-3, 0.8)
   
   # centre -10, tolerància 1.5, mínim 2 punts puntuació > 0
   
   >>> busca_zona(f,-10,1.5,2)
   (-8, 0.5)
   

   Disposes de més tests al fitxer test-busca-zona.txt.

   Disposes de solucions al fitxer zones.py.